数学沈括的数学成就在数学史上占有重要的地位。日本著名的数学史家三上① 李约瑟：《中国科学技术史》（中译本），第一卷，科学出版社1975 年版，第135 页。① 沈括：《补笔谈》卷2。

　　义夫称之为“中国算学之模范的人物或理想的人物”①。

　　累棋、层坛及酒家积罂之类的隙积问题，即垛积问题，实质上是一种高阶等差级数求和问题。设堆垛体的上、下宽分别为a 和c 个物体，上、下长分别为b 和d 个物体，高共有n 层，则依《梦溪笔谈》原文所述，堆垛体的总和S=p 6［（2b+d）a+（2d+b）c+c-a］，这一公式是完全正确的。沈括的隙积术是《九章算术》中“刍童术”的发展，并构成了其后二三百年间关于垛积问题研究的开端。其后南宋的杨辉和元代朱世杰等在此基础上，创立垛积术，解决了许多更一般的高阶等差级数求和问题。

　　沈括的另一项数学成就，是创立了会圆术。会圆术是在丈量田亩中提出来的。沈括说：“凡圆田，既能拆之，须使会之复圆。”②这是关于已知弓形的圆径、矢高，求弓形的弦长和弧长的方法。沈括是中国第一个对弧、弦、矢之间关系加以考虑的科学家，他给出了下列近似公式：l = c +2bc = 2 r22dr b ， ， - - ( )2其中l 为弧长，d 为直径，r 为半径，b 为矢高，c 为弦长。会圆术也是后来天文计算中常用的重要公式。

　　物理学（1）光学沈括研究过凹面镜成像的原理，他通过反复观察和实验，得出了较《墨经》等更前进一步的结果。他指出，用凹面镜照物，中间有一被称作“碍”的点（即现在所说的焦点），物在此点之内，成正像；在此点上，不成像；在此点之外，成倒像。他还用窗隙、橹臬、腰鼓等常见事物，来形容凹面镜成像现象，试图解释凹面镜成像原理。尽管这些解释并不完全正确，但不失为极有益的尝试。他对凸面镜、平面镜也做了细致的观察和研究，科学地解释了古人制镜，镜大则平、镜小则凸的道理。他指出：“小鉴不能全观人面，故令微凸，收人面令小，则鉴虽小而能全纳人面。”①说明他对镜面大小、镜面曲率与成像的关系，已有很清楚的认识。

　　为了说明月亮的盈亏现象，沈括做了模拟实验。他用一个弹丸，将其表面一半涂上白粉，这样侧视之则粉处如钩，对视之则正圆，从而直观地和形象地演示了月亮的盈亏现象，具有很强的说服力。

　　（2）磁学沈括对指南针的研究是有卓越成就的。他由实验得出磁针指向不是正南方，而是略偏东，这是关于地球磁偏角最早的明确记载；他指出磁针有四种装置方法，即：浮于水面、放在指甲上、置于碗边、以线悬挂，并对这四种方法的优劣做了比较，认为最好的是以线悬挂法（缕悬法）；他还发现磁针有指南、指北之分，进而推断出这种差异可能是由于磁石的不同性质造成的。但受科技水平所限，当时还不可能对这一现象作出科学的解释。（3）声学沈括通过对某些声学现象的观察与研究，对声的共振现象有了更进一步的认识。共振现象早在战国时期就为人们所发现，其后人们还发① ［日］三上义夫著，林科棠译：《中国算学之特色》，《万有文库》本。② 《梦溪笔谈》卷18。

　　① 《梦溪笔谈》第327 条，胡道静校注本（下文所引《梦溪笔谈》原文，均据此本，不重复注出）。现了一些消除共振现象的方法。沈括的实验是用简单的仪器证明弦线的基音与泛音的共振关系。他剪一小纸人，放在基音弦线之上，拨动相应的泛音弦线，纸人就跳动，拨别的弦线，纸人则不动。沈括把这称为“正声”，即共振实验。西方直至17 世纪才出现类似的实验。

　　沈括还对乐律，古琴的制作和传声，古乐钟的发声、共鸣等声学现象，提出了许多精辟的见解。

　　地学沈括一生行踪所及，几遍大半个中国，加上他知识面广，善于观察和思考，因此在地学领域亦有许多独到的见解。

　　熙宁七年（1074），沈括到浙东地区考察，看到“雁荡诸峰，皆峭拔险怪，上耸千尺，穹涯巨谷，不类他山，皆包在诸谷中。自岭外望之，都无所见；至谷中则森然干霄”。对于这种地貌，他认为是“谷中大水冲击沙土尽去，唯巨石岿然挺立耳”①。指出了流水侵蚀作用的自然成因。他还提出西部黄土高原的地形，也是同一原因形成的。从而对这两个地区的地貌成因作出了科学的解释。他还根据太行山麓的山崖之间，往往含有螺蚌壳及石子，“横亘石壁如带”，从而判断这里曾是海滨，并进而推断华北大平原是由黄河、漳水等河流的泥沙沉积而形成的。这是对华北平原成因的最早的科学解释。沈括在视察河北边防时，非常留意当地的地形、地貌，并用木屑、面糊堆捏成当地的山川道路等地形地物。后来由于天气寒冷而改为用熔蜡制作。这种立体地图，既真切又便于携带，到官所后，再将之复制为木刻的立体地图。这种制图方法，在当时很受重视并得以推广，以致“边州皆为木图，藏于内府”。

　　熙宁九年（1076），沈括奉旨编修《天下州县图》，前后花了12 年时间，终于绘制成《天下州县图》（《守令图》）总图大小各1 轴，分路图18 轴，共20 轴。这是当时全国最好的地图。沈括在制图过程中，继承并发展了西晋裴秀提出的“制图六体”，还采用了一些新的制图方法。例如，他把过去用四至八到定方位和距离的方法进一步扩展为二十四至，即细分为二十四个方位，使制图的精密度有所提高。这也是后来元明时期将航海罗盘划分二十四个方位的先声。